Question

7．如图，三棱台DEF-ABC中，底面是以AB为斜边的直角三角形，FC⊥底面ABC，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．
（I）求证：直线BD∥平面FGH；
（Ⅱ）若BC=CF=$\frac{AB}{2}$，求二面角A-GH-F的余弦值．

Answer 1

分析 （I）如图所示，连接DG，CD，设CD∩GF=M，连接MH．由已知可得四边形CFDG是平行四边形，DM=MC．利用三角形的中位线定理可得：MH∥BD，可得BD∥平面FGH；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用向量法进行求解．

解答 （I）证明：如图所示，连接DG，CD，设CD∩GF=M，连接MH．
在三棱台DEF-ABC中，AB=2DE，G为AC的中点．
∴$DF\underset{∥}{=}GC$，∴四边形CFDG是平行四边形，
∴DM=MC．又BH=HC，
∴MH∥BD，又BD?平面FGH，MH?平面FGH，
∴BD∥平面FGH；
（Ⅱ）建立以C为坐标原，CA，CB，CF分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
设BC=1，则CF=1，AB=2，
则AC=$\sqrt{3}$，
则A（$\sqrt{3}$，0，0），C（0，0，0），B（0，1，0），F（0，0，1），
G（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，0），H（0，$\frac{1}{2}$，0），
则AGH的法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设GHF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{GH}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{HF}$=（0，$-\frac{1}{2}$，1），
则$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{GH}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+$\frac{1}{2}$y=0，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{HF}$=$-\frac{1}{2}$y+z=0，
令y=2，则x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，z=1，
即$\overrightarrow{n}$=（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，2，1），
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}+{2}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{57}}{19}$，
∵二面角A-GH-F是钝二面角
∴二面角A-GH-F的余弦为为-$\frac{\sqrt{57}}{19}$．

点评 本题主要考查线面平行的判定，以及二面角的求解，利用二面角的定义作出平面角是解决本题的关键．本题也可以建立坐标系，利用向量法进行求解，综合性较强，运算量较大．