Question

15．已知函数y=f（x）的图象是自原点出发的一条折线，当n≤y≤n+1（n=0，1，2，…）时，该图象是斜率为bⁿ的线段，其中常数b＞0且b≠1，数列{x_n}由f（x_n）=n（n=0，1，2…）定义．
（1）若b=3，求x₁，x₂；
（2）求x_n的表达式及f（x）的解析式（不必求f（x）的定义域）；
（3）当b＞1时，求f（x）的定义域，并证明y=f（x）的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的公共点．

Answer 1

分析 （1）由f（0）=0，运用直线的斜率公式，f（x_n）=n，可得x₁，x₂；
（2）由x₁=1，x₂=1+$\frac{1}{b}$，…，x_n=x₁+（x₂-x₁）+（x₃-x₂）+…+（x_n-x_n-1），运用等比数列的求和公式，即可得到所求；再由直线的斜率公式可得f（x）的解析式；
（3）当b＞1时，$\underset{lim}{x→∞}$x_n=$\frac{b}{b-1}$，f（x）的定义域为[0，$\frac{b}{b-1}$），证明b＞1，1＜x＜$\frac{b}{b-1}$时，恒有f（x）＞x成立．运用f（x）的解析式，结合不等式的性质即可得到结论．

解答 解：（1）依题意f（0）=0，又由f（x₁）=1，当0≤y≤1时，
函数y=f（x）的图象是斜率为b⁰=1的线段，
故由$\frac{f（{x}_{1}）-f（0）}{{x}_{1}-0}$=1，得x₁=1．
又由f（x₂）=2，当1≤y≤2时，函数y=f（x）的图象是斜率为b的线段，
故由$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=b，
即x₂-x₁=$\frac{1}{b}$=$\frac{1}{3}$，解得x₂=$\frac{4}{3}$；
（2）由（1）可得x₁=1，x₂=1+$\frac{1}{b}$，
由函数y=f（x）图象中第n段线段的斜率为b^n-1，
故得$\frac{f（{x}_{n}）-f（{x}_{n-1}）}{{x}_{n}-{x}_{n-1}}$=b^n-1，
又f（x_n）=n，f（x_n-1）=n-1，
∴x_n-x_n-1=（$\frac{1}{b}$）^n-1，
由此知数列{x_n-x_n-1}为等比数列，其首项为1，公比为$\frac{1}{b}$，
因b≠1，得x_n=x₁+（x₂-x₁）+（x₃-x₂）+…+（x_n-x_n-1）
=1+$\frac{1}{b}$+（$\frac{1}{b}$）²+…+=（$\frac{1}{b}$）^n-1=$\frac{b-（\frac{1}{b}）^{n-1}}{b-1}$=$\frac{{b}^{n}-1}{{b}^{n}-{b}^{n-1}}$，
对n=1也成立，故x_n=$\frac{{b}^{n}-1}{{b}^{n}-{b}^{n-1}}$；
当n≤y≤n+1时，$\frac{f（x）-f（{x}_{n}）}{x-{x}_{n}}$=bⁿ，
f（x）=f（x_n）+（x-x_n）bⁿ=n+（x-x_n）bⁿ（n=0，1，2，…）：
（3）当b＞1时，$\underset{lim}{x→∞}$x_n=$\frac{b}{b-1}$，f（x）的定义域为[0，$\frac{b}{b-1}$），
下面证明b＞1，1＜x＜$\frac{b}{b-1}$时，恒有f（x）＞x成立．
事实上，对1＜x＜$\frac{b}{b-1}$时，存在x_n，使x_n≤x≤x_n+1，
于是由b＞1时，f（x）=f（x_n）=bⁿ（x-x_n）＞x-x_n，
进而f（x）-x＞f（x_n）-x_n=n-x_n，
当b＞1时，x_n=1+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$+…+$\frac{1}{{b}^{n-1}}$＜n，
即n-x_n＞0，可得f（x）＞x．
综上知，y=f（x）的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的公共点

点评 本题主要考查函数的基本概念、等比数列、数列极限的基础知识，考查归纳、推理和综合的能力，属于中档题．