Question

5．在△ABC中，B=$\frac{π}{3}$，AC=$\sqrt{3}$，求AB+BC的最大值并判断取得最大值时△ABC的形状．

Answer 1

分析 根据正弦定理可得AB=2sinC，BC=2sinA，从而利用三角函数恒等变换的应用可求AB+BC=$2\sqrt{3}sin（C+\frac{π}{6}）$，利用正弦函数的图象和性质即可得解．

解答 （本题满分为12分）
解：∵B=$\frac{π}{3}$，AC=$\sqrt{3}$，
∴在△ABC中，根据$\frac{AB}{sinC}$=$\frac{AC}{sinB}$=$\frac{BC}{sinA}$，得AB=$\frac{AC}{sinB}$•sinC=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$sinC=2sinC，
∴同理BC=2sinA，
∴AB+BC=2sinC+2sinA，…（4分）
=2sinC+2sin（$\frac{2}{3}$π-C）
=$2\sqrt{3}sin（C+\frac{π}{6}）$，…（8分）
当C=$\frac{π}{3}$，可得AB+BC的最大值为$2\sqrt{3}$，…（10分）
取最大值时，因而△ABC是等边三角形．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．