Question

20．已知{a_n}为等差数列，若$\frac{{a}_{13}}{{a}_{12}}$＜-1，且它的前n项和S_n有最大值，那么当S_n取得最小正值时，n的值为（　　）

• A． 24
• B． 23
• C． 22
• D． 11

Answer 1

分析 由{a_n}为等差数列，且它的前n项和S_n有最大值，得数列的公差d小于0，再由$\frac{{a}_{13}}{{a}_{12}}$＜-1，得到a₁₃＜0＜a₁₂，由此求得S_n取得最小正值时的n的值．

解答 解：∵S_n有最大值，
∴d＜0
则a₁₂＞a₁₃，
又$\frac{{a}_{13}}{{a}_{12}}$＜-1，
∴a₁₃＜0＜a₁₂，
∴a₁₂+a₁₃＜0，
S₂₄=12（a₁+a₂₄）=12（a₁₂+a₁₃）＜0，
S₂₃=23a₁₂＞0，
又a₁＞a₂＞…＞a₁₂＞0＞a₁₃＞a₁₄，
S₁₂＞S₁₁＞…＞S₂＞S₁＞0，S₁₂＞S₁₃＞…＞S₂₃＞0＞S₂₄＞S₂₅，
又∵S₂₃-S₁=a₂+a₃+…+a₂₃=11（a₁₂+a₁₃）＜0，
∴S₂₃为最小正值．
故选：B．

点评 本题考查数列递推式，考查等差数列的性质，要求S_n取得最小正值时n的值，关键是要找出什么时候a_n大于0，而a_n+1小于0，是中档题．