Question

12．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=2a_n-4，数列{b_n}满足b_n+1-b_n=1，其n项和为T_n，且T₂+T₆=32．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若不等式nlog₂（S_n+4）≥λb_n+3n-7对任意的n∈N^*恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系即可得出．
（Ⅱ）S_n=2×4ⁿ-4．不等式nlog₂（S_n+4）≥λb_n+3n-7，化为：λ≤$\frac{2{n}^{2}-2n+7}{n+1}$，利用单调性求出$\frac{2{n}^{2}-2n+7}{n+1}$的最小值即可得出．

解答 解：（I）∵S_n=2a_n-4，
∴n=1时，a₁=2a₁-4，解得a₁=4；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-4-（2a_n-1-4），化为：a_n=2a_n-1．
∴数列{a_n}是等比数列，首项为4，公比为2，∴a_n=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹．
∵数列{b_n}满足b_n+1-b_n=1，
∴数列{b_n}是等差数列，公差为1．
∵T₂+T₆=32，∴2b₁+1+6b₁+$\frac{6×5}{2}$×1=32，解得b₁=2．
∴b_n=2+（n-1）=n+1．
（Ⅱ）S_n=2×2ⁿ⁺¹-4．
∴不等式nlog₂（S_n+4）≥λb_n+3n-7，化为：λ≤$\frac{{n}^{2}-n+7}{n+1}$，
∵$\frac{{n}^{2}-n+7}{n+1}$=（n+1）+$\frac{9}{n+1}$-3≥2$\sqrt{（n+1）×\frac{9}{n+1}}$-3=3，
当n=2时，$\frac{2{n}^{2}-2n+7}{n+1}$取得最小值3，
∴实数λ的取值范围是λ≤3．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．