Question

17．设f（sinα+cosα）=sinα•cosα，则f（x）的定义域为[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，$f（sin\frac{π}{6}）$的值为-$\frac{3}{8}$．

Answer 1

分析 用换元法求出函数f（x）的解析式，从而可求函数值．

解答 解：令sinα+cosα=t（t∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]），
平方后化简可得 sinαcosα=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
再由f（sinα+cosα）=sinαcosα，得f（t）=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
所以f（sin$\frac{π}{6}$）=f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{{（\frac{1}{2}）}^{2}-1}{2}$=-$\frac{3}{8}$．
故答案为：[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，-$\frac{3}{8}$．

点评 本题主要考查换元法求函数的解析式，注意换元中变量取值范围的变化，属于基础题．