Question

8．已知AC⊥BC，AC=BC，D满足$\overrightarrow{CD}$=t$\overrightarrow{CA}$+（1-t）$\overrightarrow{CB}$，若∠ACD=60°，则t的值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
• B． $\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{2}$-1
• D． $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$

Answer 1

分析 根据条件可知点D在线段AB上，从而可作出图形，并过D分别作AC，BC的垂线DE，DF，可设AC=BC=a，从而可根据条件得到CE=ta，CF=（1-t）a，这样在Rt△CDE和Rt△CDF中，由余弦函数的定义即可得到$\frac{ta}{\frac{1}{2}}=\frac{（1-t）a}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，从而可解出t的值．

解答 解：如图，根据题意知，D在线段AB上，过D作DE⊥AC，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F；

若设AC=BC=a，则由$\overrightarrow{CD}=t\overrightarrow{CA}+（1-t）\overrightarrow{CB}$得，CE=ta，CF=（1-t）a；
根据题意，∠ACD=60°，∠DCF=30°；
∴$\frac{CE}{cos60°}=\frac{CF}{cos30°}$；
即$\frac{ta}{\frac{1}{2}}=\frac{（1-t）a}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$；
解得$t=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．
故选：A．

点评 考查当满足$\overrightarrow{CD}=t\overrightarrow{CA}+（1-t）\overrightarrow{CB}$时，便说明D，A，B三点共线，以及向量加法的平行四边形法则，平面向量基本定理，余弦函数的定义．