Question

13．已知：如图，BC是半圆O的直径，D，E是半圆O上两点，$\widehat{ED}=\widehat{CE}$，CE的延长线与BD的延长线交于点A．
（1）求证：AE=DE；
（2）若$AE=2\sqrt{5}，tan∠ABC=\frac{4}{3}$，求CD．

Answer 1

分析 （1）由圆周角定理及直角三角形的性质可得到∠A=∠ADE，再根据等角对等边即可求得结论．
（2）连接BE，根据等腰三角形，以及直角三角形，推出边长关系，利用射影定理求解即可．

解答 （1）证明：∵BC是半圆O直径，
∴∠ADC=∠BDC=90°．
∵，$\widehat{ED}=\widehat{CE}$，
∴∠EDC=∠ECD．
∴∠A=∠ADE．
∴AE=DE．
（2）解：连接BE，
∵$\widehat{ED}=\widehat{CE}$，
∴DE=EC．
∴AE=EC=2 $\sqrt{5}$．
∵BC是半圆O直径，
∴∠BEC=90°即BE⊥AC．
∴BA=BC．
∵Rt△BDC中，tan∠ABC=$\frac{4}{3}$，
设BD=3x，CD=4x，则BC=5x，
∴AB=BC=5x，AD=2x．
∵AE•AC=AD•AB，
∴2 $\sqrt{5}$×4 $\sqrt{5}$=2x•5x．
解得：x=2，即CD=8．

点评 本题考查圆周角定理，相似三角形的判定，直角三角形的性质等知识点的综合运用．