Question

2．已知实数x，y满足$\left\{{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{x+y-4≥0}\\{y≥a（x-3）}\end{array}}\right.$．
（1）当a=2时，则2x+y的最小值为5；
（2）若满足上述条件的实数x，y围成的平面区域是三角形，则实数a的取值范围是1＜a或a＜$-\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过B（5，3）时，z最大，当直线过C时，z最小．
（2）作出不等式组$\left\{{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{x+y-4≥0}\\{y≥a（x-3）}\end{array}}\right.$．表示的平面区域，从而解出．

解答 解：（1）画出不等式$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{x+y-4≥0}\\{y≥2x-6}\end{array}\right.$表示的平面区域：

将目标函数变形为z=2x+y，作出目标函数对应的直线，$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{x-y+2=0}\end{array}\right.$，解得A（1，3），
直线过A（1，3）时，直线的纵截距最大，z最小，最小值为5；
则目标函数z=2x+y的最小值为：5．
故答案为：5．
（2）$\left\{{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{x+y-4≥0}\\{y≥a（x-3）}\end{array}}\right.$．
如下图：
y=a（x-3）恒过（3，0），则若不等式组

表示的平面区域是一个三角形，K_AB=$\frac{3-0}{1-3}$=-$\frac{3}{2}$，则实数a的取值范围，1＜a或a＜$-\frac{3}{2}$，
故答案为：1＜a或a＜$-\frac{3}{2}$．

点评 本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值．