Question

14．已知函数f（x）=-x²+x+lnx+a的图象总是在直线y=1的下方，求a的取值范围．

Answer 1

分析 根据题意便得到-x²+x+lnx+a＜1在（0，+∞）上恒成立，从而得到a＜x²-x-lnx+1在（0，+∞）上恒成立，可设g（x）=x²-x-lnx+1，x∈（0，+∞），求导数$g′（x）=\frac{（2x+1）（x-1）}{x}$，可判断该导数在（0，+∞）上的符号，从而可求得g（x）的最小值为1，这样即可得出a的取值范围．

解答 解：根据条件-x²+x+lnx+a＜1在x∈（0，+∞）上恒成立；
即a＜x²-x-lnx+1在x∈（0，+∞）上恒成立；
设$g（x）={x}^{2}-x-lnx+1，g′（x）=\frac{2{x}^{2}-x-1}{x}$=$\frac{（2x+1）（x-1）}{x}$，x∈（0，+∞）；
∴x∈（0，1）时，g′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0；
∴x=1时，g（x）取最小值1；
∴a＜1；
即a的取值范围为（-∞，1）．

点评 考查二次函数符号和对应一元二次方程根的关系，根据导数符号求函数最值的方法，要熟悉二次函数的图象．