Question

4．已知命题p：关于x的方程x²-ax+4=0无实根；命题q：关于x的函数y=x²-2ax+4在[1，+∞）上是增函数，若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 命题p：关于x的方程x²-ax+4=0无实根，可得△＜0；命题q：关于x的函数y=x²-2ax+4在[1，+∞）上是增函数，可得a≤1．若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，p与q必然一真一假，即可得出．

解答 解：命题p：关于x的方程x²-ax+4=0无实根，∴△=a²-16＜0，解得-4＜a＜4；
命题q：关于x的函数y=x²-2ax+4在[1，+∞）上是增函数，∴a≤1．
若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，
∴p与q必然一真一假，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4＜a＜4}\\{a＞1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a≤-4或a≥4}\\{a≤1}\end{array}\right.$，
解得1＜a＜4，a≤-4．
∴实数a的取值范围是1＜a＜4或a≤-4．

点评 本题考查了函数的性质、一元二次方程的实数根与判别式的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．