Question

16．设α，β，γ∈（0，$\frac{π}{2}$），且sinα+sinγ=sinβ，cosα-cosγ=cosβ，则α-β的值为（　　）

• A． -$\frac{π}{3}$
• B． $\frac{π}{6}$
• C． $\frac{π}{3}$或-$\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{3}$

Answer 1

分析 把已知的两等式分别移项，使关于γ的三角函数移项到等式右边，根据α，β，γ的范围得到β大于α，然后把化简后的两等式两边分别平方后，相加并利用同角三角函数间的基本关系及两角差的余弦函数公式化简后，得到cos（α-β）的值，根据α与β的范围及β大于α，得到α-β小于0，利用特殊角的三角函数值即可求出α-β的值．

解答 解：由已知可得：sinβ-sinα=sinγ＞0，cosα-cosβ=cosγ＞0，
则（sinβ-sinα）²+（cosα-cosβ）²=1，且β＞α，
即cos（α-β）=$\frac{1}{2}$，（0＜α＜β＜$\frac{π}{2}$），
则α-β=-$\frac{π}{3}$．
故选：A．

点评 此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及两角差的余弦函数公式化简求值，学生做题时应根据已知条件判断出β＞α，进而得到α-β的值为负数，属于中档题．