Question

7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（c+2a）cosB+b=2bsin²$\frac{C}{2}$，且b=3，则ac的最大值为3．

Answer 1

分析 先根据正弦定理，二倍角公式和两角和差的正弦公式，化简即可求出cosB=-$\frac{1}{2}$，再根据余弦定理和基本不等式即可求出．

解答 解：由正弦定理可得，$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，（c+2a）cosB+b=2bsin²$\frac{C}{2}$，
∴（sinC+2sinA）cosB+sinB=sinB（1-cosC），
∴sinCcosB+2sinAcosB+sinB=sinB-sinBcosC，
∴sinCcosB+sinBcosC+2sinAcosB=0，
∴sin（B+C）+2sinAcosB=0，
∴sinA+2sinAcosB=0，
∵sinA≠0，
∴cosB=-$\frac{1}{2}$，
由余弦定理可得，b²=a²+c²-2accosB，
∴9=a²+c²+ac≥2ac+ac=3ac，当且仅当a=c=$\sqrt{3}$取等号，
∴ac≤3，
则ac的最大值为3．
故答案为：3．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．