Question

2．已知等腰三角形ABC中，|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AC}$|=5，|$\overrightarrow{BC}$|=6，点D为底边上一动点，$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DC}$取最小值时，则|$\overrightarrow{DC}$|=$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 建立如图所示的直角坐标系，O（0，0），A（0，4），C（3，0），D（x，0），（-3≤x≤3）．可得：$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DC}$=（-x，4）•（3-x，0）=-x（3-x），利用基本不等式的性质即可得出最小值．

解答 解：建立如图所示的直角坐标系
O（0，0），A（0，4），C（3，0），D（x，0），（-3≤x≤3）．
∴$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DC}$=（-x，4）•（3-x，0）=-x（3-x）≥$-（\frac{x+3-x}{2}）^{2}$=-$\frac{9}{4}$，当且仅当x=$\frac{3}{2}$时取等号，
∴$\overrightarrow{DC}$=$（\frac{3}{2}，0）$．
则|$\overrightarrow{DC}$|=$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了向量数量积运算性质、基本不等式的性质、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．