Question

13．两个向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|=1，|2$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$|=$\frac{1}{3}$，则（5$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-9$\overrightarrow{b}$）的值为$\frac{80}{9}$．

Answer 1

分析 运用向量的数量积的性质，向量的平方即为模的平方，运用多项式的运算法则，化简整理代入即可得到所求值．

解答 解：|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|=1，|2$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$|=$\frac{1}{3}$，
两边平方可得，$\overrightarrow{a}$²-4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+4$\overrightarrow{b}$²=1，①
4$\overrightarrow{a}$²+12$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+9$\overrightarrow{b}$²=$\frac{1}{9}$，
即有$\overrightarrow{a}$²-4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+4$\overrightarrow{b}$²=36$\overrightarrow{a}$²+108$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+81$\overrightarrow{b}$²，
可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-$\frac{1}{16}$（5$\overrightarrow{a}$²+11$\overrightarrow{b}$²），
代入①可得$\overrightarrow{a}$²+3$\overrightarrow{b}$²=$\frac{4}{9}$，
则（5$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-9$\overrightarrow{b}$）=5$\overrightarrow{a}$²-48$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+27$\overrightarrow{b}$²
=5$\overrightarrow{a}$²+27$\overrightarrow{b}$²+15$\overrightarrow{a}$²+33$\overrightarrow{b}$²
=20（$\overrightarrow{a}$²+3$\overrightarrow{b}$²）
=$\frac{80}{9}$．

点评 本题考查向量的数量积的性质，主要考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．