Question

18．设△ABC中的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且asinB=2sin$\frac{A}{2}$，cos$\frac{A}{2}$=$\frac{2}{3}$，则b等于（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 利用同角三角函数基本关系式，结合$\frac{A}{2}$的范围，可求sin$\frac{A}{2}$的值，由二倍角公式可求sinA的值，求得asinB=2sin$\frac{A}{2}$=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，利用正弦定理即可得解b的值．

解答 解：∵A∈（0，π），$\frac{A}{2}$∈（0，$\frac{π}{2}$），cos$\frac{A}{2}$=$\frac{2}{3}$，
∴sin$\frac{A}{2}$=$\sqrt{1-co{s}^{2}\frac{A}{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，sinA=2sin$\frac{A}{2}$cos$\frac{A}{2}$=2×$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{5}}{3}$=$\frac{4\sqrt{5}}{9}$，
∵asinB=2sin$\frac{A}{2}$=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
∴由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，可得：b=$\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{\frac{2\sqrt{5}}{3}}{\frac{4\sqrt{5}}{9}}$=$\frac{3}{2}$．
故选：C．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．