Question

8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=$\sqrt{3}$，且b²+c²=3+bc．
（I）求角A的大小；
（Ⅱ）求bsinC的最大值．

Answer 1

分析 （I）由余弦定理可得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{3+bc-3}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，即可得出．
（II）由正弦定理可得：可得b=$\frac{asinB}{sinA}$，可得bsinC=2sinBsin$（\frac{2π}{3}-B）$=$sin（2B-\frac{π}{6}）$+$\frac{1}{2}$，根据B∈$（0，\frac{2π}{3}）$即可得出．

解答 解：（I）由余弦定理可得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{3+bc-3}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），∴A=$\frac{π}{3}$．
（II）由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，可得b=$\frac{asinB}{sinA}$，
bsinC=$\frac{\sqrt{3}sinB}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$•sinC=2sinBsin$（\frac{2π}{3}-B）$=2sinB$（\frac{\sqrt{3}}{2}cosB+\frac{1}{2}sinB）$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2B+$\frac{1-cos2B}{2}$
=$sin（2B-\frac{π}{6}）$+$\frac{1}{2}$，
∵B∈$（0，\frac{2π}{3}）$，∴$（2B-\frac{π}{6}）$∈$（-\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}）$．
∴$sin（2B-\frac{π}{6}）$∈$（-\frac{1}{2}，1]$．
∴bsinC∈$（0，\frac{3}{2}]$．
∴bsinC的最大值为$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．