Question

14．已知f（x）=|x-3|，g（x）=|x-k|（其中k≥2）．
（Ⅰ）若k=4，求f（x）+g（x）＜9的解集；
（Ⅱ）若?x∈[1，2]，不等式f（x）-g（x）≥k-x恒成立，求实数k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将k=4代入g（x），通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）问题等价于?x∈[1，2]，x+3≥2k恒成立，根据x的范围求出k的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）k=4时，f（x）+g（x）＜9，
即|x-3|+|x-4|＜9，
即$\left\{\begin{array}{l}{x＜3}\\{3-x+4-x＜9}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{3≤x≤4}\\{x-3+4-x＜9}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＞4}\\{x-3+x-4＜9}\end{array}\right.$，
解得：-1＜x＜3或3≤x≤4或4＜x＜8，
故原不等式的解集是{x|-1＜x＜8}；
（Ⅱ）∵k∵≥2且x∈[1，2]，
∴x-3＜0，x-k＜0，
∴f（x）=|x-3|=3-x，g（x）=|x-k|=k-x，
则?x∈[1，2]，不等式f（x）-g（x）≥k-x恒成立，
等价于?x∈[1，2]，x+3≥2k恒成立，
∴4≥2k，即k≤2，
又∵k≥2，
∴k=2．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．