Question

3．已知α∈（0，$\frac{π}{2}$），β∈（-$\frac{π}{2}$，0），cos（$α+\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{3}$，cos（$\frac{β}{2}-\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则cos（$α+\frac{β}{2}$）=（　　）

• A． $\frac{5}{9}\sqrt{3}$
• B． -$\frac{\sqrt{6}}{9}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． -$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 利用同角三角函数的基本关系求得sin（$α+\frac{π}{4}$）和sin（$\frac{β}{2}-\frac{π}{4}$）的值，再利用两角差的正切公式的应用，求得要求式子的值．

解答 解：∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），β∈（-$\frac{π}{2}$，0），cos（$α+\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{3}$，cos（$\frac{β}{2}-\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴sin（$α+\frac{π}{4}$）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（α+\frac{π}{4}）}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，sin（$\frac{β}{2}-\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{{1-cos}^{2}（\frac{β}{2}-\frac{π}{4}）}$=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴cos（$α+\frac{β}{2}$）=cos[（$α+\frac{π}{4}$）+（$\frac{β}{2}$-$\frac{π}{4}$）]=cos（$α+\frac{π}{4}$）•cos（$\frac{β}{2}-\frac{π}{4}$）-sin（$α+\frac{π}{4}$）•sin（$\frac{β}{2}-\frac{π}{4}$）
=$\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{3}}{3}$-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$•（-$\frac{\sqrt{6}}{3}$）=$\frac{5\sqrt{3}}{9}$，
故选：A．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的应用，属于基础题．