Question

18．△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=2A，cosAcosBcosC＞0，则$\frac{asinA}{b}$的取值范围是（$\frac{\sqrt{3}}{6}$，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 先利用二倍角公式化简B=2A换成边的关系，求得A的范围，根据正切函数的单调性求得$\frac{asinA}{b}$的取值范围．

解答 解：由cosAcosBcosC＞0，可知，三角形是锐角三角形，
由正弦定理可知sinB=sin2A=2sinAcosA，
b=2acoaA
$\frac{asinA}{b}$=$\frac{1}{2}$tanA，
∵A+B+C=180°，B=2A
∴3A+C=180°，A=60°-$\frac{C}{3}$＞30°，
∵2A＜90°
∴A∈（30°，45°），
$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜tanA＜1
则$\frac{\sqrt{3}}{6}$＜$\frac{asinA}{b}$＜$\frac{1}{2}$
故答案为：（$\frac{\sqrt{3}}{6}$，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题主要考查了正弦定理的应用．解题的思路就是通过把边的问题转化成角的问题，然后利用三角函数的基本性质来解决问题．