Question

6．（1）数列$\frac{3}{5}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{11}$，$\frac{3}{7}$，…的一个通项公式是a_n=$\frac{n+2}{3n+2}$．
（2）根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式．
①$\frac{1}{2×4}$，$\frac{1}{3×5}$，$\frac{1}{4×6}$，$\frac{1}{5×7}$，…；
②-3，7，-15，31，…；
③2，6，2，6，…．

Answer 1

分析 （1）数列$\frac{3}{5}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{11}$，$\frac{3}{7}$，…，即数列$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{8}$，$\frac{5}{11}$，$\frac{6}{14}$，…，即可得出此数列一个通项公式．
（2）①$\frac{1}{2×4}$，$\frac{1}{3×5}$，$\frac{1}{4×6}$，$\frac{1}{5×7}$，…，可得a_n=$\frac{1}{（n+1）（n+3）}$；
②-3，7，-15，31，…，取绝对值为数列{a_n}，a₁=3，可得a₂-a₁=4=2²，a₃-a₂=8=2³，a₄-a₃=16=2⁴，…，利用“累加求和”即可得出；
③2，6，2，6，…．可得a_n=4+（-1）ⁿ×2．

解答 解：（1）数列$\frac{3}{5}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{11}$，$\frac{3}{7}$，…，即数列$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{8}$，$\frac{5}{11}$，$\frac{6}{14}$，…，可得此数列一个通项公式是：a_n=$\frac{n+2}{3n+2}$．
（2）根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式．
①$\frac{1}{2×4}$，$\frac{1}{3×5}$，$\frac{1}{4×6}$，$\frac{1}{5×7}$，…，a_n=$\frac{1}{（n+1）（n+3）}$；
②-3，7，-15，31，…，取绝对值为数列{a_n}，a₁=3，∵a₂-a₁=4=2²，a₃-a₂=8=2³，a₄-a₃=16=2⁴，…，∴a_n=3+2²+2³+…+2ⁿ
=$\frac{{2}^{n+1}-1}{2-1}$=2ⁿ⁺¹-1，可得此数列的通项公式可得：b_n=（-1）ⁿ（2ⁿ⁺¹-1）．
③2，6，2，6，…．可得a_n=4+（-1）ⁿ×2．
故答案分别为：（1）a_n=$\frac{n+2}{3n+2}$．（2）①a_n=$\frac{1}{（n+1）（n+3）}$；②b_n=（-1）ⁿ（2ⁿ⁺¹-1）；③a_n=4+（-1）ⁿ×2．

点评 本题考查了通过观察分析归纳求数列的通项公式方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．