Question

7．设函数f（x）=|x-a|，a∈R．
（Ⅰ）若a=1，解不等式f（x）≥$\frac{1}{2}$（x+l）；
（Ⅱ）记函数g（x）=f（x）-|x-2|的值域为A，若A⊆[1，3]，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将a=1代入f（x），通过讨论x的范围，解不等式，从而求出不等式的解集；（Ⅱ）通过讨论a的范围，结合集合的包含关系，求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-x，x＜1}\\{x-1，x≥1}\end{array}\right.$，
x＜1时，由f（x）≥$\frac{1}{2}$（x+1），有1-x≥$\frac{1}{2}$（x+1），解得：x≤$\frac{1}{3}$，
当x≥1时，f（x）≥$\frac{1}{2}$（x+1），有x-1≥$\frac{1}{2}$（x-1），解得：x≥3，
综上，不等式的解集是（-∞，$\frac{1}{3}$]∪[3，+∞）；
（Ⅱ）当a＜2时，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a-2，x≤a}\\{2x-2-a，a＜x＜2}\\{2-a，x≥2}\end{array}\right.$，
g（x）的值域A=[a-2，2-a]，
由A⊆[-1，3]，得$\left\{\begin{array}{l}{a-2≥-1}\\{2-a≤3}\end{array}\right.$，解得：a≥1，又a＜2，故1≤a＜2，
当a≥2时，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a-2，x≤2}\\{2x-2-a，2＜x＜a}\\{2-a，x≥a}\end{array}\right.$，g（x）的值域A=[2-a，a-2]，
由A⊆[-1，3]，得$\left\{\begin{array}{l}{2-a≥-1}\\{a-2≤3}\end{array}\right.$，解得：a≤3，又a≥2，故2≤a≤3，
综上，所求a的范围是[1，3]．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．