Question

19．在极坐标下，定义两个点（ρ₁，θ₁）和（ρ₂，θ₂）（ρ₁，ρ₂＞0，0≤θ₁，θ₂≤2π）的“极坐标中点“为（$\frac{{ρ}_{1}+{ρ}_{2}}{2}$，$\frac{{θ}_{1}+{θ}_{2}}{2}$），设点A、B的极坐标为（4，$\frac{π}{100}$）与（8，$\frac{51π}{100}$），设M为线段AB的中点，N为点A、B的“极坐标中点”，则线段MN的长度的平方为56-36$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 取出M，N的直角坐标，代入两点间的距离公式计算．

解答 解：A的直角坐标为A（4cos$\frac{π}{100}$，4sin$\frac{π}{100}$），B的直角坐标为B（8cos$\frac{51π}{100}$，8sin$\frac{51π}{100}$），即B（-8sin$\frac{π}{100}$，8cos$\frac{π}{100}$）．
∴AB的中点坐标为M（2cos$\frac{π}{100}$-4sin$\frac{π}{100}$，2sin$\frac{π}{100}$+4cos$\frac{π}{100}$），
AB的极坐标中点为N（6，$\frac{13π}{50}$）．N的直角坐标为N（6cos$\frac{13π}{50}$，6sin$\frac{13π}{50}$）．
∴|MN|²=（2cos$\frac{π}{100}$-4sin$\frac{π}{100}$-6cos$\frac{13π}{50}$）²+（2sin$\frac{π}{100}$+4cos$\frac{π}{100}$-6sin$\frac{13π}{50}$）²
=4+16+36-16cos$\frac{π}{100}$sin$\frac{π}{100}$-24cos$\frac{π}{100}$cos$\frac{13π}{50}$+48sin$\frac{π}{100}$cos$\frac{13π}{50}$+16cos$\frac{π}{100}$sin$\frac{π}{100}$-24sin$\frac{π}{100}$sin$\frac{13π}{50}$-48cos$\frac{π}{100}$sin$\frac{13π}{50}$
=56-24cos$\frac{π}{4}$+48sin（-$\frac{π}{4}$）
=56-36$\sqrt{2}$．
故答案为56-36$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标的转化，三角函数的化简求值，属于中档题．