Question

15．数列{a_n}的首项a₁=1，{b_n}为等比数列且bn=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$，若${b_{50}}{b_{51}}={2016^{\frac{1}{50}}}$，则a₁₀₁=2016．

Answer 1

分析 由已知结合b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$，得到a₁₀₁=b₁b₂…b₁₀₀，结合b₅₀b₅₁=$201{6}^{\frac{1}{50}}$及等比数列的性质求得a₁₀₁．

解答 解：由b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$，且a₁=1，得b₁=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}={a}_{2}$．
b₂=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$，a₃=a₂b₂=b₁b₂．
b₃=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$，a₄=a₃b₃=b₁b₂b₃．
…
a_n=b₁b₂…b_n-1．
∴a₁₀₁=b₁b₂…b₁₀₀．
∵数列{b_n}为等比数列，
∴a₁₀₁=（b₁b₁₀₀）（b₂b₉₉）…（b₅₀b₅₁）=$（{b}_{50}{b}_{51}）^{50}=（201{6}^{\frac{1}{50}}）^{50}=2016$，
故答案为：2016．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等比数列的性质，是中档题．