Question

11．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（a-\frac{1}{3}）x+3，x≤0}\\{{a}^{x}，x＞0}\end{array}\right.$在区间（-∞，+∞）内是减函数，则a的取值范围是（$\frac{1}{3}$，1）．

Answer 1

分析 由函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（a-\frac{1}{3}）x+3，x≤0}\\{{a}^{x}，x＞0}\end{array}\right.$在区间（-∞，+∞）内是减函数，可得：$\left\{\begin{array}{l}a-\frac{1}{3}＜0\\ 0＜a＜1\\ 3≥{a}^{0}=1\end{array}\right.$，解得答案．

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（a-\frac{1}{3}）x+3，x≤0}\\{{a}^{x}，x＞0}\end{array}\right.$在区间（-∞，+∞）内是减函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}a-\frac{1}{3}＜0\\ 0＜a＜1\\ 3≥{a}^{0}=1\end{array}\right.$，
解得a∈（$\frac{1}{3}$，1），
故答案为：（$\frac{1}{3}$，1）

点评 根据分段函数单调性的定义，可得函数在各段上均为减函数，且在分段处左段函数值不小于右段函数值．