Question

7．已知函数f（x）=|x+1|-a|x-l|．
（Ⅰ）当a=-2时，解不等式f（x）＞5；
（Ⅱ）若（x）≤a|x+3|，求a的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将a=2代入f（x），表示出f（x）的分段形式，结合函数的单调性求出不等式的解集即可；（Ⅱ）问题转化为$\frac{|x+1|}{|x-1|+|x+3|}$≤$\frac{1}{2}$，求出a的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）当a=-2时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-3x，x＜-1}\\{3-x，-1≤x≤1}\\{3x-1，x＞1}\end{array}\right.$，
由f（x）的单调性及f（-$\frac{4}{3}$）=f（2）=5，
得f（x）＞5的解集为{x|x＜-$\frac{4}{3}$，或x＞2}．…（5分）
（Ⅱ）由f（x）≤a|x+3|得a≥$\frac{|x+1|}{|x-1|+|x+3|}$，
由|x-1|+|x+3|≥2|x+1|得$\frac{|x+1|}{|x-1|+|x+3|}$≤$\frac{1}{2}$，得a≥$\frac{1}{2}$．
（当且仅当x≥1或x≤-3时等号成立）
故a的最小值为$\frac{1}{2}$．…（10分）

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分段函数，是一道中档题．