Question

15．（文科）已知函数f（n），n∈N^*，且f（n）∈N^*．若f（n）+f（n+1）+f（f（n））=3n+1，f（1）≠1，则f（6）=5．

Answer 1

分析 由f（n）+f（n+1）+f（f（n））=3n+1，可得：f（1）+f（2）+f（f（1））=4，由于f（1）≠1，且f（n）∈N^*．则必有f（1）=2，化为2+f（2）+f（2）=4，解得f（2）=1．分别令n=2，3，4，5，即可得出．

解答 解：∵f（n）+f（n+1）+f（f（n））=3n+1，
∴f（1）+f（2）+f（f（1））=4，
∵f（1）≠1，且f（n）∈N^*．
则必有f（1）=2，化为2+f（2）+f（2）=4，解得f（2）=1，满足题意．
令n=2，则f（2）+f（3）+f（f（2））=7，可得：1+f（3）+f（1）=7，可得f（3）=4．
令n=3，则f（3）+f（4）+f（f（3））=10，可得：4+f（4）+f（4）=10，可得f（4）=3．
令n=4，则f（4）+f（5）+f（f（4））=13，可得：3+f（5）+f（3）=13，即3+f（5）+4=13，可得f（5）=6．
令n=5，则f（5）+f（6）+f（f（5））=13，可得：6+f（6）+f（6）=16，可得f（6）=5．
故答案为：5．

点评 本题考查了抽象函数的性质及其求值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．