Question

10．已知x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x≥2}\\{y≥2}\\{x+y≤8}\end{array}\right.$时，z=$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$（a≥b＞0）的最大值为2，则a+b的最小值为（　　）

• A． 4+2$\sqrt{3}$
• B． 4-2$\sqrt{3}$
• C． 9
• D． 8

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，结合z=$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$（a≥b＞0）的最大值为2可得$\frac{1}{a}+\frac{3}{b}=1$，然后利用基本不等式求最值．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$（a≥b＞0）得$y=-\frac{b}{a}x+bz$，
则斜率k=-$\frac{b}{a}$∈[-1，0），
则由图象可知当直线y=-$\frac{b}{a}$x+bz经过点A（2，6）时，
直线y=-$\frac{b}{a}$x+bz的截距最大，
此时$\frac{2}{a}+\frac{6}{b}=2$即$\frac{1}{a}+\frac{3}{b}=1$．
则a+b=（a+b）（$\frac{1}{a}+\frac{3}{b}$）=1+3+$\frac{b}{a}+\frac{3a}{b}$≥4+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{3a}{b}}$=4+2$\sqrt{3}$，
当且仅当$\frac{b}{a}=\frac{3a}{b}$，即b=$\sqrt{3}$a取等号此时不成立，故基本不等式不成立．
设t=$\frac{b}{a}$，
∵a≥b＞0，
∴0＜$\frac{b}{a}$≤1，即0＜t≤1，
则1+3+$\frac{b}{a}+\frac{3a}{b}$=4+t+$\frac{3}{t}$在（0，1]上单调递减，
∴当t=1时，
1+3+$\frac{b}{a}+\frac{3a}{b}$=4+t+$\frac{3}{t}$取得最小值为4+1+3=8．
即a+b的最小值为8．
故选：D．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．