Question

19．如图所示，△ABC中，AB⊥AC，AB=6，AC=8．边AB，AC的中点分别为M，N．若O为线段MN上任一点，则$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$的取值范围是[$-\frac{180}{11}，-9$]．

Answer 1

分析 分别以AC、AB所在直线为x、y轴建立平面直角坐标系，设O（m，n），由$\overrightarrow{MO}=λ\overrightarrow{MN}$把O的坐标用λ表示，再把$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$转化为关于λ的二次函数求解．

解答 解：如图，分别以AC、AB所在直线为x、y轴建立平面直角坐标系，

∵AB=6，AC=8，边AB，AC的中点分别为M，N，
∴A（0，0），B（0，6），C（8，0），M（0，3），N（4，0），
设O（m，n），$\overrightarrow{MO}=λ\overrightarrow{MN}$，则（m，n-3）=λ（4，-3）（0≤λ≤1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=4λ}\\{n-3=-3λ}\end{array}\right.$，则$\left\{\begin{array}{l}{m=4λ}\\{n=3-3λ}\end{array}\right.$，
∴O（4λ，3-3λ），
则$\overrightarrow{OA}=（-4λ，3λ-3），\overrightarrow{OB}=（4λ，3λ+3）$，$\overrightarrow{OC}=（8-4λ，3λ-3）$，
∴$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$=4λ（8-4λ）+（3λ+3）（3λ-3）-4λ•4λ+（3λ+3）（3λ-3）-4λ（8-4λ）+（3λ-3）²
=11λ²-18λ-9（0≤λ≤1）．
对称轴方程为$λ=\frac{9}{11}$，
∴当$λ=\frac{9}{11}$时，$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$有最小值为$-\frac{180}{11}$，当λ=0时，$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$有最大值为-9．
故答案为：[$-\frac{180}{11}，-9$]．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查数量积的坐标表示，训练了二次函数最值的求法，是中档题．