Question

14．已知数列{a_n}满足a₁=3，且对任意的正整数m，n都有a_n+m=a_n•a_m，若数列{b_n}满足b_n=n-1+log₃a_n，{b_n}的前n项和为B_n．
（Ⅰ）求a_n和B_n；
（Ⅱ）令c_n=a_n•b_n，d_n=$\frac{4n+4}{{B}_{n}•{B}_{n+2}}$，数列{c_n}的前n项和为S_n，数列{d_n}的前n项和为T_n，分别求S_n和T_n．

Answer 1

分析 （I）对任意的正整数m，n都有a_n+m=a_n•a_m，可得a_n+1=a_n•a₁=3a_n，利用等比数列的通项公式可得a_n．可得b_n，即可得出{b_n}的前n项和为B_n．
（II）c_n=（2n-1）•3ⁿ．利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式可得S_n．d_n=$\frac{4n+4}{{B}_{n}•{B}_{n+2}}$=$\frac{4n+4}{{n}^{2}（n+2）^{2}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+2）^{2}}$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（I）∵对任意的正整数m，n都有a_n+m=a_n•a_m，
∴a_n+1=a_n•a₁=3a_n，
∴数列{a_n}是等比数列，公比为3，首项为3，∴a_n=3ⁿ．
∴b_n=n-1+log₃a_n=n-1+n=2n-1，
∴{b_n}的前n项和为B_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²．
（II）c_n=a_n•b_n，=（2n-1）•3ⁿ．
∴数列{c_n}的前n项和为S_n=3+3×3²+5×3³+…+（2n-1）•3ⁿ，
∴3S_n=3²+3×3³+…+（2n-3）•3ⁿ+（2n-1）•3ⁿ⁺¹，
∴-2S_n=3+2（3²+3³+…+3ⁿ）-（2n-1）•3ⁿ⁺¹=$\frac{2×3（{3}^{n}-1）}{3-1}$-3-（2n-1）•3ⁿ⁺¹=（2-2n）•3ⁿ⁺¹-6，
∴S_n=（n-1）•3ⁿ⁺¹+3．
d_n=$\frac{4n+4}{{B}_{n}•{B}_{n+2}}$=$\frac{4n+4}{{n}^{2}（n+2）^{2}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+2）^{2}}$，
当n=1时，d₁=$\frac{8}{9}$；
当n≥2时，T_n=$（1-\frac{1}{{3}^{2}}）$+$（\frac{1}{{2}^{2}}-\frac{1}{{4}^{2}}）$+$（\frac{1}{{3}^{2}}-\frac{1}{{5}^{2}}）$+…+$（\frac{1}{（n-1）^{2}}-\frac{1}{（n+1）^{2}}）$+$（\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+2）^{2}}）$=$\frac{5}{4}$-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$-$\frac{1}{（n+2）^{2}}$．
当n=1时也成立，∴T_n=$\frac{5}{4}$-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$-$\frac{1}{（n+2）^{2}}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．