Question

4．已知各项均为正数的等比数列{a_n}的前三项为a-2，4，2a，记前n项和为S_n．
（1）设S_k=62，求a和k的值；
（2）令b_n=（2n-1）a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵各项均为正数的等比数列{a_n}的前三项为a-2，4，2a，
∴4²=2a（a-2），化为a²-2a-8=0，解得a=4或-2．
∵a＞0，∴a=4．
∴a₁=2，a₂=4，公比q=$\frac{4}{2}$=2．
∴S_k=62=$\frac{2（{2}^{k}-1）}{2-1}$，解得k=5．
∴a=4，k=5．
（2）由（1）可得：a_n=2ⁿ．
b_n=（2n-1）a_n=（2n-1）•2ⁿ．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ，
∴2T_n=2²+3×2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=$\frac{4（{2}^{n}-1）}{2-1}$-2-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=（3-2n）•2ⁿ⁺¹-6，
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．