Question

12．数列{a_n}的各项均为正数，S_n为其前n项和，且对任意的n∈N^*，均有2a_n，2S_n，$a_n^2$成等差数列．
（1）求a₁的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）由已知可得$4{S}_{n}=2{a}_{n}+{{a}_{n}}^{2}$，取n=1，化为关于a₁的一元二次方程求得a₁的值；
（2）对于n≥1，有$4{S_n}=2{a_n}+a_n^2$，因此$4{S_{n-1}}=2{a_{n-1}}+a_{n-1}^2，n≥2$，两式作差后可得{a_n}是公差为2，首项为2的等差数列，则数列{a_n}的通项公式可求．

解答 解：（1）∵2a_n，2S_n，$a_n^2$成等差数列，
∴$4{S}_{n}=2{a}_{n}+{{a}_{n}}^{2}$，
当n=1时，有$4{S_1}=2{a_1}+a_1^2$，即$4{a_1}=2{a_1}+a_1^2$．
∴a₁（a₁-2）=0，
由于a₁＞0，故a₁=2；
（2）对于n≥1，有$4{S_n}=2{a_n}+a_n^2$，①
因此$4{S_{n-1}}=2{a_{n-1}}+a_{n-1}^2，n≥2$ ②
由①-②得，$4{a_n}=2{a_n}-2{a_{n-1}}+a_n^2-a_{n-1}^2$．
即2（a_n+a_n-1）=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）．
由于a_n和a_n-1均为正数，故a_n-a_n-1=2，n≥2．
从而{a_n}是公差为2，首项为2的等差数列．
因此，a_n=2n，n≥1．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了等差数列通项公式的求法，是中档题．