Question

2．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x}-1，x≤0}\\{-{x}^{2}+x，x＞0}\end{array}\right.$，则关于x的不等式f[f（x）]≤3的解集为（-∞，2]．

Answer 1

分析 令t=f（x），即有f（t）≤3，讨论t的范围，解得t≥-2，即f（x）≥-2，讨论x的范围，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：令t=f（x），即有f（t）≤3，
可得$\left\{\begin{array}{l}{t≤0}\\{{2}^{-t}-1≤3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{t＞0}\\{t-{t}^{2}≤3}\end{array}\right.$，
即为-2≤t≤0或t＞0，
即有t≥-2，即f（x）≥-2，
即为$\left\{\begin{array}{l}{x≤0}\\{{2}^{-x}-1≥-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x-{x}^{2}≥-2}\end{array}\right.$，
解得x≤0或0＜x≤2，
即为x≤2．
故答案为：（-∞，2]．

点评 本题考查不等式的解法，注意运用换元法，以及指数函数的单调性和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．