Question

14．设等差数列{a_n}的公差d≠0，已知a₁=2，且a₁，a₂，a₄成等比数列
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）设数列b_n=$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}-1}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁，a₂，a₄成等比数列，可得${a}_{2}^{2}={a}_{1}{a}_{4}$，即（2+d）²=2（2+3d），解出即可得出．
（2）b_n=$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}-1}$=$\frac{1}{（2n）^{2}-1}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）∵a₁，a₂，a₄成等比数列，
∴${a}_{2}^{2}={a}_{1}{a}_{4}$，
∴（2+d）²=2（2+3d），化为d²-2d=0，d≠0，解得d=2．
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
（2）b_n=$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}-1}$=$\frac{1}{（2n）^{2}-1}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．