Question

16．已知f（x）=x³-$\frac{9}{2}$x²+6x+a，若?x₀∈[1，4]，使f（x₀）=2a成立，则a的范围是[2，16]．

Answer 1

分析 利用导数求出f（x）在x∈[1，4]上的最大与最小值，由f（x₀）=2a得出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{2+a≤2a}\\{2a≤16+a}\end{array}\right.$，求出解集即可．

解答 解：∵f（x）=x³-$\frac{9}{2}$x²+6x+a，
∴f′（x）=3x²-9x+6=3（x-1）（x-2），
令f′（x）＞0，解得x∈（-∞，1）∪（2，+∞）；
∴函数f（x）的单调增区间为（-∞，1）和（2，+∞）；
令f′（x）＜0，解得x∈（1，2），
∴函数f（x）的单调减区间为（1，2）；
又x∈[1，4]，∴f（x）在（1，2）上是单调减函数，在（2，4）上是单调增函数；
∴f（x）在[1，4]上的最小值为f（2）=8-$\frac{9}{2}$×4+12+a=2+a，最大值为max{f（1），f（4）}=16+a；
又?x₀∈[1，4]，使f（x₀）=2a成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2+a≤2a}\\{2a≤16+a}\end{array}\right.$，解得2≤a≤16．
∴a的范围是[2，16]．
故答案为：[2，16]．

点评 本题考查了利用导数求出函数在闭区间上的最值问题，也考查了转化思想的应用问题，是综合性题目．