Question

17．在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．若b=$\sqrt{2}$，c=3，B+C=3A．
（1）求边a；
（2）求sin（B+$\frac{3π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用余弦定理求得a的值．
（2）由条件利用正弦定理求得sinB的值，可得cosB的值，再利用两角和差的正弦公式，求得sin（B+$\frac{3π}{4}$）的值．

解答 解：（1）三角形ABC中，∵b=$\sqrt{2}$，c=3，B+C=3A，
∴A=$\frac{π}{4}$，利用余弦定理可得a²=b²+c²-2bc•cosA=5，∴a=$\sqrt{5}$．
（2）由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$，可得$\frac{\sqrt{5}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{sinB}$，∴sinB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
再结合b＜c，可得B为锐角，∴cosB=$\sqrt{{1-sin}^{2}B}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴sin（B+$\frac{3π}{4}$）=sinBcos$\frac{3π}{4}$+cosBsin$\frac{3π}{4}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}•（-\frac{\sqrt{2}}{2}）$+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，正弦定理和余弦定理，属于基础题．