Question

5．设数列{a_n}按三角形进行排列，如图，第一层一个数a₁，第二层两个数a₂和a₃，第三层三个数a₄，a₅和a₆，以此类推，且每个数字等于下一层的左右两个数字之和，如a₁=a₂+a₃，a₂=a₄+a₅，a₃=a₅+a₆，…．
（1）若第四层四个数为0或1，a₁为奇数，则第四层四个数共有多少种不同取法？
（2）若第十一层十一个数为0或1，a₁为5的倍数，则第十一层十一个数共有多少种不同取法？

Answer 1

分析 （1）若第四层四个数为0或1，则a₁=a₇+3a₈+3a₉+a₁₀，由a₁为奇数，进而得到答案；
（2）若第十一层十一个数为0或1，a₁为5的倍数，则若a₁为5的倍数，则a₅₆，a₆₆均为0，a₅₇，a₅₈，a₆₅任意，进而得到答案．

解答 解：（1）若第四层四个数为0或1，则a₁=a₇+3a₈+3a₉+a₁₀，
则a₇，a₈，a₉，a₁₀中有一个1，或有三个1，
若a₇，a₈，a₉，a₁₀中有一个1，则有4种情况；
若a₇，a₈，a₉，a₁₀中有三个1，则有4种情况；
共8种情况；
（2）根据（1）中结论，若第十一层十一个数为0或1，
则a₁=a₅₆+10（a₅₇+a₅₈+…+a₆₅）+a₆₆，
若a₁为5的倍数，则a₅₆，a₆₆均为0，
a₅₇，a₅₈，a₆₅任意，
则第十一层十一个数共有2⁹=512种不同取法．

点评 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．