Question

14．已知f（x）=（4-m）x²-4x+1，a为正整数，满足f（a）＜0的a的个数有且仅有两个，则实数m的取值范围为（　　）

• A． 2＜m≤3
• B． $\frac{9}{4}＜m≤\frac{25}{9}$
• C． m$＞\frac{25}{9}$
• D． m$≤\frac{9}{4}$

Answer 1

分析 根据题意可以先得到0＜m＜4，从而解方程f（x）=0可得到$x=\frac{1}{2±\sqrt{m}}$，从而f（x）＜0的解为$（\frac{1}{2+\sqrt{m}}，\frac{1}{2-\sqrt{m}}）$，容易得出$\frac{1}{4}＜\frac{1}{2+\sqrt{m}}＜\frac{1}{2}$，这样根据条件a为正整数，满足f（a）＜0的a的个数有且仅有两个，从而得出$2＜\frac{1}{2-\sqrt{m}}≤3$，这样解该不等式便可得出实数m的取值范围．

解答 解：若m=4，则f（x）=-4x+1，则满足f（a）＜0的a有无数个，不满足条件，即m≠4，依题意m＜4；
根据题意，方程f（x）=0有两个不同实数根；
∴△=16-4（4-m）=4m＞0；
即0＜m＜4；
解（4-m）x²-4x+1=0得，$x=\frac{1}{2±\sqrt{m}}$；
∴f（x）＜0的解为$（\frac{1}{2+\sqrt{m}}，\frac{1}{2-\sqrt{m}}）$；
∵0＜m＜4；
∴$2＜2+\sqrt{m}＜4$；
∴$\frac{1}{4}＜\frac{1}{2+\sqrt{m}}＜\frac{1}{2}$；
∵满足f（a）＜0的a的个数有且仅有两个，且a为正整数；
∴$2＜\frac{1}{2-\sqrt{m}}≤3$；
解得$\frac{9}{4}＜m≤\frac{25}{9}$．
故选B．

点评 考查二次函数的图象，以及一元二次方程的实数根的个数和判别式△取值的关系，一元二次方程的求根公式，以及不等式的性质，分式不等式的解法．