Question

18．已知△ABC中，3$\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$，tanB=2，|$\overrightarrow{AD}$|=|$\overrightarrow{BD}$|=2，则△ABC的面积为$\frac{24}{5}$．

Answer 1

分析 可作图：延长AB到E，使AE=2AB，连接CE，取CE中点F，连接AF，从而可得到$2\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{AD}$，从而求出DF=1，连接BF，这样便可说明点D在边BC上，并求出BC=6．取AB的中点M，连接DM，则有DM⊥AB，根据tanB=2便可求出AB=$\frac{4}{\sqrt{5}}$，过A作AN⊥BC，垂足为N，同理可求出$AN=\frac{8}{5}$，这样根据三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．

解答 解：如图，延长AB到E，使AE=2AB，连接CE，取CE中点F，连接AF，则：

2$\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$；
即$2\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{AD}$；
∴$|\overrightarrow{AF}|=\frac{3}{2}|\overrightarrow{AD}|=3$；
∴$|\overrightarrow{DF}|=1$；
即$\frac{DF}{AD}=\frac{1}{2}$，连接BF，则：BF∥AC，且$\frac{BF}{AC}=\frac{1}{2}$；
∴点D在边BC上，且$\frac{BD}{CD}=\frac{1}{2}，BD=2$，∴CD=4，∴BC=6；
取AB中点M，连接DM，则DM⊥AB；
设BM=x，∵tanB=2，∴DM=2x；
∴x²+（2x）²=4；
∴$x=\frac{2}{\sqrt{5}}$；
∴$AB=\frac{4}{\sqrt{5}}$，同理，过A作AN⊥BC，垂足为N，则：$B{N}^{2}+（2BN）^{2}=\frac{16}{5}$；
∴$BN=\frac{4}{5}$；
∴$AN=\frac{8}{5}$；
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×6×\frac{8}{5}=\frac{24}{5}$．
故答案为：$\frac{24}{5}$．

点评 考查向量数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，三角形中位线的性质，以及相似三角形对应边的比例关系，正切函数的定义，直角三角形边的关系，三角形的面积公式．