Question

已知函数f（x）=x²e^x．
（1）求f（x）的极值．
（2）求f（x）在区间[t，0]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）令f′（x）=0，解得x=0或-2．再进行验证即可．
（2）分以下情况讨论其单调性：①当0＞t≥-2时，②当t＜-2时，进而得到其最值．

解答：解：（1）f′（x）=xe^x（2+x）．
令f′（x）=0，解得x=0或-2．
由f′（x）＞0，解得x＞0或x＜-2，
∴函数f（x）在（-∞，-2）和（0，+∞）单调递增；
由f′（x）＜0，解得-2＜x＜0，∴函数f（x）在（-2，0上单调递减．
∴函数f（x）在x=0取得极小值，f（0）=0；
在x=-2取得极大值，f（-2）=

4

e2

．
（2）①当0＞t≥-2时，函数f（x）在区间[t，0]上单调递减，
∴当x=t时，函数f（x）取得最大值，且f（t）=t²e^t；当x=0时，函数f（x）取得最小值，且f（0）=0；
②当t＜-2时，函数f（x）在区间[t，-2）上单调递增；函数f（x）在区间[-2，0]上单调递减．
∴当x=-2时，函数f（x）取得最大值，且f（-2）=

4

e2

．
又f（t）=t²e^t，f（0）=0，
∴f（0）＜f（t），因此函数f（x）的最小值为f（0）=0．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性与极值最值、分类讨论的思想方法等是解题的关键．