Question

【题目】如图，三棱柱中，，，.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若平面平面，，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2） .

【解析】

（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，由已知可证OA1⊥AB，AB⊥平面OA1C，进而可得AB⊥A1C；

（Ⅱ）易证OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立坐标系，可得，，的坐标，设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，可解得=（，1，﹣1），可求|cos＜，＞|，即为所求正弦值．

（Ⅰ）取AB的中点O，连结OC，，.

因为，所以.

由于，，故为等边三角形，所以.

因为，所以平面.

又平面，故.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，.

又平面平面，交线为，所以平面，故，，两两相互垂直.

以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.

由题设知，，，.

则，，.

设是平面的法向量，

则 即 可取.

故 ，

所以与平面所成角的正弦值为.