Question

【题目】已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1（a＞0）关于直线3x﹣2y=0对称，且与直线3x﹣4y+1=0相切．

（1）求圆C的方程；

（2）若直线l：y=kx+2与圆C交于M，N两点，是否存在直线l，使得（O为坐标原点）若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（x﹣2）2+（y﹣3）2=1（2）不存在直线l

【解析】

（1）根据题意，分析可得，解可得a、b的值，由圆的标准方程即可得答案；

（2）假设存在满足题意的直线l，设M（x1，y1）N（x2，y2），联立直线与圆的方程，由直线与圆相交可得△=（2k+4）2﹣16（1+k2）＞0，由数量积的计算公式可得=（1+k2）++4=6，解可得k的值，验证是否满足△＞0，即可得答案．

（1）根据题意，圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1（a＞0）关于直线3x﹣2y=0对称，

即圆心（a，b）在直线3x﹣2y=0上，

圆C与直线3x﹣4y+1=0相切，则C到直线l的距离d=r=1，

则有，

解得或（舍）

∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2=1．

（2）假设存在直线l，使得=6，设M（x1，y1）N（x2，y2），

由得（1+k2）x2﹣（2k+4）x+4=0，

由△=（2k+4）2﹣16（1+k2）＞0得，且，

=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=（1+k2）++4=6，

解得k=﹣1或，不满足△＞0，

所以不存在直线l，使得=6．