Question

【题目】已知二次函数f（x）满足f（0）=2和f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1对任意实数x都成立．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当t∈[﹣1，3]时，求y=f（2t）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可设函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），则

由f（0）=2得c=2，

由f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1得，a（x+1）2+b（x+1）+2﹣ax2﹣bx﹣2=2x﹣1对任意x恒成立，

即2ax+a+b=2x﹣1，

∴ ，

∴f（x）=x2﹣2x+2

（2）解：∵y=f（2t）=（2t）2﹣22t+2=（2t﹣1）2+1，

又∵当t∈[﹣1，3]时， ，

∴ ，（2t﹣1）2∈[0，49]，

∴y∈[1，50]，

即当t∈[﹣1，3]时，求y=f（2t）的值域为[1，50]

【解析】（1）设函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由f（0）=2可求得c，由f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1，得2ax+a+b=2x﹣1，所以 ，可求a，b，从而可得f（x）；（2）y=f（2t）=（2t）2﹣22t+2=（2t﹣1）2+1，由t∈[﹣1，3]，可得2t的范围，进而可求得y=f（2t）的值域．