Question

【题目】已知过抛物线y2＝2px（p>0）的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1<x2）两点，且|AB|＝9．

（1）求该抛物线的方程．

（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求λ的值

Answer 1

【答案】（1） y2＝8x （2）λ＝0或λ＝2．

【解析】

试题分析：（1）直线AB的方程与y2＝2px联立，有，从而，再由抛物线定义得：|AB|=，求得p，则抛物线方程可得；（2）由p=4，求得．再求得设的坐标，最后代入抛物线方程即可解得λ

试题解析：（1）直线AB的方程是，与y2＝2px联立，

从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝，

由抛物线定义得：|AB|＝x1＋x2＋p＝9，

所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x．

（2）由p＝4，4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，

y1＝－2，y2＝4，从而A（1，－2），B（4，4）；

设O＝（x3，y3）＝（1，－2）＋λ（4，4）＝（4λ＋1，4λ－2），

又y32＝8x3，即[2 （2λ－1）]2＝8（4λ＋1），

即（2λ－1）2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2．