Question

已知函数．

（Ⅰ）若，求函数的极值；

（Ⅱ）若在有唯一的零点，求的取值范围；

（Ⅲ）若，设，求证：在内有唯一的零点，且对（Ⅱ）中的，满足．

Answer 1

解法一：（Ⅰ）当时，，，

．

由，令，得．

当变化时，，的变化如下表：

		0
		极小值

故函数在单调递减，在单调递增，

有极小值，无极大值．

（Ⅱ），

令，得，设．

则在有唯一的零点等价于在有唯一的零点

当时，方程的解为，满足题意；

当时，由函数图象的对称轴，函数在上单调递增，

且，，所以满足题意；

当，时，，此时方程的解为，不符合题意；

当，时，由，

只需，得．

综上，．

（说明：未讨论扣1分）

（Ⅲ）设，则，

，

 ，

由，故由（Ⅱ）可知，

方程在内有唯一的解，

且当时，，单调递减；

时，，单调递增．

又，所以．

取，

则

，

从而当时，必存在唯一的零点，且，

即，得，且，

从而函数在内有唯一的零点，满足．

解法二：（Ⅰ）同解法一；

（Ⅱ），

令，由，得

设，则，，

问题转化为直线与函数的图象在恰有一个交点问题．

又当时，单调递增，

故直线与函数的图象恰有一个交点，当且仅当

（Ⅲ）同解法一．

（说明：第（Ⅲ）问判断零点存在时，利用时，进行证明，扣1分）