Question

已知f（x）=-4
（1）求f（x）取得最大值时x的集合，和f（x）的单调递减区间；
（2）求f（x）的最小正周期，并求f（x）在[-，]上的值域．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=-4
=-2（1+cos2x）+2sin2x
=4sin（2x-）-2，
当2x-=2kπ+，即x=kπ+（k∈Z）时，f（x）取得最大值2；
∴f（x）取得最大值2时x的集合为：{x|x=kπ+（k∈Z）}；
当2kπ+≤2x-≤2kπ+（k∈Z）即kπ+≤x≤kπ+时，f（x）=4sin（2x-）-2单调递减，
∴f（x）=4sin（2x-）-2单调递减区间为：[kπ+，kπ+]（k∈Z），
（2）∵f（x）=4sin（2x-）-2，
∴其最小正周期T=π，
∵x∈[-，]，2x-∈[-，]，
∴-1≤sin（2x-）≤，-6≤4sin（2x-）-2≤0，
即f（x）在[-，]上的值域为：[-6，0]．
分析：（1）将f（x）=-4化为：f（x）=4sin（2x-）-2，继而可求f（x）取得最大值时x的集合，和f（x）的单调递减区间；
（2）由f（x）=4sin（2x-）-2可求其周期，当x∈[-，]，可求得2x-∈[-，]，从而可求f（x）在[-，]上的值域．
点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查三角函数的单调性与最值及其求法，属于中档题．