Question

7．已知函数f（x）=|x²-ax|（a∈R）．
（1）当$a=\frac{2}{3}$时，写出函数f（x）的单调区间（不要求证明）；
（2）记函数f（x）在区间[0，1]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式，并求g（a）的最小值．

Answer 1

分析 （1）将a的值代入f（x），求出f（x）的单调区间即可；
（2）通过讨论a的范围，去掉绝对值号，根据a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数f（x）在闭区间的最大值g（a），求出g（a）的最小值即可．

解答 解：（1）当$a=\frac{2}{3}$时，f（x）的单调递增区间为$（0，\frac{1}{3}]$和$[\frac{2}{3}，1]$，单调递减区间为$（\frac{1}{3}，\frac{2}{3}）$；
（2）当a≤0时，f（x）=|x²-ax|=x²-ax在区间[0，1]上为增函数，
当x=1时，f（x）取得的最大值为f（1）=1-a；
当0＜a＜1时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{x}^{2}+ax，0＜x＜a\\{x}^{2}-ax，a≤x＜1\end{array}\right.$，
在区间$（0，\frac{a}{2}）$上递增，在$[\frac{a}{2}，a]$上递减，在（a，1]上递增，
且f$（\frac{a}{2}）=\frac{{a}^{2}}{4}$，f（1）=1-a，
∵$\frac{{a}^{2}}{4}$-（1-a）=$\frac{1}{4}$（a²+4a-4），
∴当0＜a＜2$\sqrt{2}$-2时，$\frac{{a}^{2}}{4}$＜1-a；
当2$\sqrt{2}$-2≤a＜1时，$\frac{{a}^{2}}{4}$≥1-a．
当1≤a＜2时，f（x）=-x²+ax在区间$（0，\frac{a}{2}）$上递增，在区间$（\frac{a}{2}，1）$上递减，
当x=$\frac{a}{2}$时，f（x）取得最大值f$（\frac{a}{2}）=\frac{{a}^{2}}{4}$；
当a≥2时，f（x）=-x²+ax在区间[0，1]上递增，
当x=1时，f（x）取得最大值f（1）=a-1．
则g（a）=$\left\{\begin{array}{l}1-a，a＜2\sqrt{2}-2\\ \frac{{a}^{2}}{4}，2\sqrt{2}-2≤a＜2\\ a-1，a≥2\end{array}\right.$．
g（a）在（-∞，2$\sqrt{2}$-2）上递减，在[2$\sqrt{2}$-2，+∞）上递增，
即当a=2$\sqrt{2}$-2时，g（a）有最小值为3-2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查分类讨论思想以及绝对值问题，是一道综合题．