Question

18．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的左右焦点分别为F₁，F₂，直线l过椭圆的右焦点F₂与椭圆交于A，B 两点，
（Ⅰ）当直线l的斜率为1，点P为椭圆上的动点，满足使得△ABP的面积为$\frac{{2\sqrt{5}-2}}{3}$的点P有几个？并说明理由．
（Ⅱ）△ABF₁的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时直线l的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1焦点在x轴上，右焦点F₂（1，0），设直线l的方程为：y=x-1，代入椭圆方程，利用两点之间的距离公式，求得丨AB丨，根据三角形的面积公式求得点P到直线l的距离为d，利用点到直线的距离公式与d比较即可求得P点坐标；
（Ⅱ）△ABF₁的内切圆的半径为r，${S}_{AB{F}_{1}}$=$\frac{1}{2}$4a×r，要使内切圆的面积最大，即使得△ABF₁最大，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理，点到直线的距离公式及基本不等式的性质，即可求得得△ABF₁最大值，求得内切圆的半径及面积和直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知：椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1焦点在x轴上，右焦点F₂（1，0），
设直线l的方程为：y=x-1，则$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：3x²-4x=0，
解得：x₁=0，x₂=$\frac{4}{3}$，
则丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•丨x₁-x₂丨=$\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$，
设点P到直线l的距离为d，则S_△ABP=$\frac{1}{2}$•丨AB丨•d=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$×d=$\frac{{2\sqrt{5}-2}}{3}$，
解得：d=$\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{2}}$，
设P（x₀，y₀），则P到直线l的距离d=$\frac{丨{x}_{0}-{y}_{0}-1丨}{\sqrt{2}}$，
令t=x₀-y₀-1，由$\frac{{x}_{0}^{2}}{2}+{y}_{0}^{2}=1$，代入整理得：x₀²+2（x₀-1-t）²=2，
化简整理得：3x₀²-4（1+t）x₀+2t²+4t=0，
由△≥0，解得：-$\sqrt{3}$-1≤t≤-$\sqrt{3}$+1，
当-$\sqrt{3}$-1≤t＜0，椭圆上方的点到直线l的距离的最大值为$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}$＞$\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{2}}$，
则椭圆上存在两个这样的点P，使得△ABP的面积S_△ABP=$\frac{{2\sqrt{5}-2}}{3}$，
当0≤t≤-$\sqrt{3}$+1，椭圆下方的点到直线l的距离的最大值为$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}$＜$\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{2}}$，
则椭圆下方不存在这样的P点，使得△ABP的面积S_△ABP=$\frac{{2\sqrt{5}-2}}{3}$，
综上可知：椭圆上存在这样的P点有二个；
（Ⅱ）△ABF₁的内切圆的半径为r，${S}_{AB{F}_{1}}$=$\frac{1}{2}$（丨AF₁丨+丨BF₁丨+丨AB丨）×r=$\frac{1}{2}$4a×r，
∴要使内切圆的面积最大，即使得△ABF₁最大，…9分
设直线l：x=my+1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（m²+2）y²+2my-1=0…10分
由△=8（1+m²）＞0，
丨y₁-y₂丨=$\frac{\sqrt{△}}{{m}^{2}+2}$=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{1+{m}^{2}}}{{m}^{2}+2}$，…11分
设点F₁到直线l的距离为h则：${S}_{AB{F}_{1}}$=$\frac{1}{2}$丨AB丨×h=$\frac{1}{2}$$\sqrt{1+{m}^{2}}$$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{1+{m}^{2}}}{{m}^{2}+2}$$\frac{丨-（-1）+m×0+1丨}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{1+{m}^{2}}}{{m}^{2}+2}$，…13分
令t=$\sqrt{1+{m}^{2}}$，t≥0，则${S}_{AB{F}_{1}}$=$\frac{2\sqrt{2}t}{{t}^{2}+1}$=$\frac{2\sqrt{2}}{t+\frac{1}{t}}$≤$\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{t•\frac{1}{t}}}$=$\sqrt{2}$，
当且仅当t=$\frac{1}{t}$，即m=0时，${S}_{AB{F}_{1}}$取得最大值，
∴△ABF₁面积最大值为$\sqrt{2}$，
则r_max=$\frac{1}{2}$，
∴△ABF₁的内切圆的面积最大值为$\frac{π}{4}$，此时直线l的方程为x=1．…15分

点评 本题主要考查，直线、圆、圆锥曲线的方程，直线与椭圆的位置关系等基本知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力，考查计算能力，属于中档题．