Question

【题目】定义在(0，＋∞)上的函数f(x)，对于任意的m，n∈(0，＋∞)，都有f(mn)＝f(m)＋f(n)成立，当x>1时，f(x)<0.

(1)求证：1是函数f(x)的零点；

(2)求证：f(x)是(0，＋∞)上的减函数；

(3)当f(2)＝时，解不等式f(ax＋4)>1．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）时解集为，时，解集为，时解集为.

【解析】试题分析：（1）根据令m＝n＝1，则f（1）＝2f（1），∴f（1）＝0，即可得1是函数 f （x）的零点；（2）设．

即因，则．而当x>1时，，从而．所以f（x）在（0，＋∞）上是减函数（3）因为，所以不等式转化为f（ax＋4）>f（4），根据函数的单调性，可得，然后分三种情况讨论，解得不等式

试题解析：（1）对于任意的正实数m，n都有f（mn）＝f（m）＋f（n）成立，所以令m＝n＝1，则f（1）＝2f（1）．

∴f（1）＝0，即1是函数f（x）的零点．

（2）设．

即因，则．而当x>1时，，从而．所以f（x）在（0，＋∞）上是减函数．

（3）因为，所以不等式f（ax＋4）>1可以转化为

因为f（x）在（0，＋∞）上是减函数，所以．

当a＝0时，解集为；

当a>0时，－4<ax<0，即－<x<0，解集为；

当a<0时，－4<ax<0，即0<x<－，解集为}．