【题目】已知函数.
(1)当时,讨论
的单调区间;
(2)设,当
有两个极值点为
,且
时,求
的最小值.
【答案】(Ⅰ)当时,
的递增区间为
,无递减区间;当
时,
的递增区间为
,
,递减区间为
(Ⅱ).
【解析】试题分析:(Ⅰ)求出的导数,通过讨论
的范围求出函数的单调区间即可;(Ⅱ)用
表示
,
,求出
的表达式,构造函数
,
,求出
的最小值即可.
试题解析:(Ⅰ) 的定义域
.
,
令,得
,
①当时,
,此时
恒成立,所以,
在定义域
上单调递增; (2分)
②当时,
,
的两根为
,
,
且.
当时,
,
单调递增;
当时,
,
单调递减;
当时,
,
单调递增;
综上,当时,
的递增区间为
,无递减区间;当
时,
的递增区间为
,
,递减区间为
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, 的两个极值点
是方程
的两个根,则
,所以
,
.
∴
.
设,
,
则.
∵,
当时,恒有
,∴
在
上单调递减;
∴,∴
.
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【题目】经过下列两点的直线的斜率是否存在?如果存在,求其斜率,并确定直线的倾斜角α.
(1)A(2,3),B(4,5);
(2)C(-2,3),D(2,-1);
(3)P(-3,1),Q(-3,10).
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【题目】现有 个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,
约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为 或
的人去参加
甲游戏,掷出点数大于 的人去参加乙游戏.
(1)求这 个人中恰有
个人去参加甲游戏的概率;
(2)求这 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率.
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【题目】已知函数
的图象过点
。
(1)求的值并求函数
的值域;
(2)若关于的方程
有实根,求实数
的取值范围;
(3)若函数,
,则是否存在实数
,使得函数
的最大值为0?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由。
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【题目】已知函数.
(1)当时,求函数
在
上的最大值;
(2)令,若
在区间
上为单调递增函数,求
的取值范围;
(3)当时,函数
的图象与
轴交于两点
且
,又
是
的导函数.若正常数
满足条件
.证明:
<0.
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【题目】关于的方程
,给出下列四个判断:
①存在实数,使得方程恰有4个不同的实根;
②存在实数,使得方程恰有5个不同的实根;
③存在实数,使得方程恰有6个不同的实根;
④存在实数,使得方程恰有8个不同的实根;
其中正确的为________(写出所有判断正确的序号).
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【题目】某投资人欲将5百万元奖金投入甲、乙两种理财产品,根据银行预测,甲、乙两种理财产品的收益与投入奖金的关系式分别为
,其中
为常数且
.设对乙种产品投入奖金
百万元,其中
.
(1)当时,如何进行投资才能使得总收益
最大;(总收益
)
(2)银行为了吸储,考虑到投资人的收益,无论投资人奖金如何分配,要使得总收益不低于,求
的取值范围.
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